Должен ли интернет-магазин отправлять покупателям электронный кассовый чек?

Должен. В соответствии с п. 5 ст. 1.2 Федерального закона от 22.05.2003 № 54-ФЗ (в редакции от 03.07.2016 № 290-ФЗ) пользователи при осуществлении расчетов с использованием электронных средств платежа обязаны обеспечить передачу покупателю кассового чека или бланка строгой отчетности в электронной форме на абонентский номер либо адрес электронной почты, указанные покупателем до совершения расчетов. При этом кассовый чек или бланк строгой отчетности на бумажном носителе пользователем не печатается.