Если платёж на сайте проходит через онлайн-систему приёма платежей, которая существует на базе РНКО (Расчетная небанковская кредитная организация), у кого возникает (и возникает ли) обязательство по направлению покупателю кассового чека в электронной форме?

Агрегатор платежей является платежным агентом только в случае приема наличных платежей. При безналичных (онлайн) платежах обязанность выдавать чеки покупателю возникает у интернет-магазина, так как деньги сразу зачисляются на счет продавца средствами информационной инфраструктуры сервиса по приёму платежей. Кто является владельцем счета – тот и выдает чек. Кредитная организация (в терминологии закона) не может являться платежным агентом.